Probabilité : Notion d'arrangement et de combinaison ( Partie 2 )
1- Notion d’arrangement :
Notant tout d’abord
qu’il n’ya pas de différence significative entre une permutation et un
arrangement .Dans le 2éme cas on s’intéresse souvent à une partie de l’ensemble
E.
a- Arrangement sans répétition :
Considérant toujours
l’ensemble E qui contient n élément .On s’intéresse ici à un sous ensemble de
l’ensemble E . Un arrangement sans répétition de k élément (k ≤n) est une
disposition ordonnée et sans répétition
de ces k élément choisi parmi les n éléments.
Conséquences :
Le nombre
d’arrangement sans répétition que l’on peut donc formé dans ces conditions
est Akn =n (n-1)(n-2)……….(n-k+1)
En effet le 1ere élément
de la disposition ordonnée à n possibilités d’être choisi, le 2eme) n-1 possibilités,
jusqu'à choisir k élément d’où la formule précédente.
Exemple 1 :
Afin de choisir son
bureau syndicale ; les 20 employés d’une entreprise sont amenés à choisir
5 représentants .On suppose que les responsabilités ne sont pas cumulatives .De
combien de façon on peut former ce bureau ?
Exemple 2 :
Afin d’accéder à un ensemble d’information
contenu dans une base de donnée, on doit utilisé un mot de passe composé de 3
lettres .Combien de mots de passe nous risquons de taper ?
On suppose que les lettres
de mot de passe sont différentes.
Solution :
1- 20X19X18X17X16=
1860480
2- 26X25X24= 15600
b- Arrangement avec répétition :
Reprenant les mêmes
données que dans le cas précédent ;un arrangement avec répétition de k élément
choisi les n éléments ( k peut être supérieure à n )n, une disposition ordonné
est éventuellement avec répétition de
ces éléments .On peut démontrer que le nombre d’arrangement avec répétition
dans ce cas est Akn=nk
Exemple :
Considèrent les
chiffres 1, 2, 5, et 8
1-Combien de nombre
de 5 chiffre on peut constituer ?
2- Combien de nombre
de moins de 6 chiffres on peut former ?
Solution :
1- 45= 1024
2- 46+45+44+43+42+41
2- Notion
de combinaison :
Si dans le cas de l’arrangement les
dispositions tiens compte du faite que l’ordre des éléments peut changer, la
disposition dans le cas de la combinaison l’ordre ne peut pas changer les dispositions
a- Combinaison sans répétitions :
Soit E contenant n
élément discernable et le , entière inférieur ou égale à n On appelé combinaison
sans répétitions de ces éléments choisi parmi les n , une disposition non
ordonné dans laquelle chaque élément apparait une seule fois .Il s’agit tout
simplement d’un sous ensemble de l’ensemble E .
n !
Akn
Ckn = _______________________ =
______________________________
K ! (n-k) ! k!
Quelques propriétés :
On a toujours les résultats
suivants :
- C0n = 1
- 0 !=1
n !
- C1n= n = _________
1 !(n-1)
- Ckn =C nn-k
- Ckn = C kn-1 +Ck-1n-1
Exemple :
On souhaite choisir 4
représentants d’une association de 30 adhérents .De combien de manière on peut
effectuer ce choix ?
Solution :
30 !
C430 =
__________________= 27405
4 !26 !
b- Combinaison avec répétitions :
Considérant les mêmes
donnés et dans le cas précédent, mais k peut être supérieure à
n ----- k ≥n .On appelé
combinaison avec répétition de ces cas éléments, une disposition non ordonné
mais éventuellement répétitions de ces cas éléments
K kn=
Ckn+k-1
Exemple :
Dans un ensemble de personne a, b, c, d de
combien de manière peut on choisir 2 personnes on effectuer 2 taches si on plus
une personne peut les effectuer toutes
.Précises toute ces disposition .
Solution :
{A, B, C, D}---------AA, AB, AC, AD, BB, BC, BD, CC,
CD
K24=
C24+2+1 = 10
Cours à suivre prochainement .....