Probabilité : L’analyse combinatoire et le dénombrement ( Partie 1 )
1- Notion de disposition :
Il s’agit à travers l’analyse combinatoire de dénombrer avec l’exactitude les différents disposition que l’on
puisse former à partir d’un ensemble d’éléments . Aucune disposition ne
doit être promise ou compté plusieurs fois .
On distingue par ailleurs les dispositions ordonnés et les dispositions non
ordonnés
Soit a,b,c trois éléments d’un ensemble . Si l’on dois tenir
compte de l’ordre alors les dispositions (a,b,c) (a,c,b) (b,a,c) (c,b,a) sont
différents .
2- Le principe multiplicatif :
Considérant deux étapes successives d’une même expérience . Si la première
donne lieu à n résultats suivant de la 2ème expérience qui a m résultats .alors
le nombre des résultats possible de l’expérience est de : n.m
Exemple :
On jette un dé deux fois successives , le nombre de résultat de cette
épreuve :
1,2,3,4,5,6
1,2,3,4,5,6
36 = 62
Chaque résultat du 1èr jet ( en
nombre 6 à est suivi par 6 autres résultats du 2éme jet) . Ce principe peut être
généralisé au cas ou l’épreuve est exécuté en cas étape.
Soit une expérience qui consiste à répéter n fois et de manière
indépendante cette mémé expérience et si
à chaque cas , o, a alors l’expérience toute entière aura nm
3- Notion de permutation :
Il ya deux formes de permutation : les permutations où les éléments ne
se répètent pas dans la même disposition et les permutations où les éléments
peuvent apparaitre plusieurs fois . Il est important de remarquer les éléments
de la disposition sont discernable ou non.
- Permutation sans répétition :
Résultat important :
Le nombre de permutation sans
répétition que l’on peut former dans ce ca est factoriel n (n !):
n ! = n(n-1)(n-2)……x2x1
Le 1ér élément peut prendre une des n places de la disposition , Il y aura
donc n-1 place pour la 2ème éléments ainsi de suite.
Exemple 1 :
De combien de manière on peut permettre les chiffres de l’ensemble E [1,2,3,4,5 ]
Exemple 2 :
De combien de façon on peut classer 8 candidats à un
concours
Solution :
- 5 ! = 120
- Pour les 8 candidats : 8 ! = 40320
- Permutation avec répétition :
Soit E un ensemble contenant discernable . Une permutation avec répétition
de ces n élément est une disposition ordonné mais essentiellement avec
répétition des n éléments ou chacun apparait autant de fois que la permutation
le permettre.
Si alors la disposition doit contenir n élément alors le nombre de permutation
avec répétition sera dans le cas extrême.
Le nombre sera nm .
Considération un ensemble E contenant n élément discernable formé deux
groupe dans les éléments à l’intérieur de chaque groupe sont indiscernable.
Une permutation avec répétition de ces n élément est une disposition
ordonné de ces éléments de tél sorte que e1 apparait ____ figure n fois et e2 figure
e2 figure n 2 fois . Dans ces conditions , le nombre de permutation avec répétition
que l’on peut obtenir est définit par l’expression suivante :
n !
P=_____________
n1 ! n2 !…..np !
|
Exemple :
Combien de mots différents peut importe le sens (si le mot à un sens linguistique
ou non ) peut on formé avec les lettres du mot erreur :
Solution :
Ce nombre est :
6 !
P= _____________
3! 2! 1!
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